Question

如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=12，∠C=60°，动点P从点C出发沿C→D方向向终点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿D→A→B方向向终点B运动．
（1）求AD的长；
（2）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M；不存在，请说明理由；
（3）在整过运动过程中，求：线段PQ的中点O运动的路程．

Answer

（1）首先过点A作AE∥BC交CD于E，易证得四边形ABCE是平行四边形，即可求得DE的长，继而可得△AED是等边三角形，则可求得AD的长；
（2）若存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ，即可求得△PDQ恰为等边三角形．过点D作DO⊥PQ于点O，延长DO交BC于点M，连接PM、QM，则DM垂直平分PQ，继而可得MC⊥DM，则可求得BM的长；
（3）分析可得PQ的中点O运动的轨迹分为两部分；当Q在AD上时，PQ的中点O关于AF对称的一条线段，长度是相同的．起点是CD的中点、终点是AF的中点；当Q在AB上时，PQ的中点O始终不动，则可求得线段PQ的中点O运动的路程．
【解析】
（1）过点A作AE∥BC交CD于E，

∵AB∥CD，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴AE=BC，CE=AB=4，
∴DE=CD-CE=12-4=8，
∵AD=BC，
∴AE=BC，
∵∠C=60°，
∴∠D=∠C=60°，
∴△AED是等边三角形，
∴AD=DE=8；

（2）存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ．
设动点P与Q的运动时间为t，
于是12-t=t，t=6．
此时，点P、Q的位置如图2所示，△PDQ恰为等边三角形．
过点D作DO⊥PQ于点O，延长DO交BC于点M，连接PM、QM，则DM垂直平分PQ，

∴MP=MQ．
易知∠1=∠C．
∴PQ∥BC．
又∵DO⊥PQ，
∴MC⊥MD
∴MP=CD=PD，即MP=PD=DQ=QM，
∴四边形PDQM是菱形，
∴存在满足条件的点M，且BM=BC-MC=8-6=2；

（3）PQ的中点O运动的轨迹分为两部分；

当Q在AD上时，PQ的中点O关于AF对称的一条线段，长度是相同的．起点是CD的中点、终点是AF的中点；
当Q在AB上时，PQ的中点O始终不动，此段Q中点运动的距离为0．
∴线段PQ的中点O运动的路程为：4．