Question

已知如图，点A（m，3）与点B（n，2）关于直线y=x对称，且都在反比例函数y=的图象上，点D的坐标为（0，-2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若过B，D的直线与x轴交于点C，求sin∠DCO的值．

Answer

（1）由点A（m，3）与点B（n，2）关于直线y=x对称，根据对称特点，易求m、n，从而用待定系数法可求反比例函数的解析式；
（2）由点B、D坐标能求直线BD解析式，进而易求点C坐标；根据坐标意义，可求OC、OD、CD长度，运用三角函数定义就能解出sin∠DCO的值．
【解析】
（1）∵A（m，3）与B（n，2）关于直线y=x对称，
∴m=2，n=3，
即A（2，3），B（3，2）．
于是由3=，
∴k=6，
∴反比例函数的解析式为y=；

（2）设直线的解析式为y=kx+b，
将B（3，2），D（0，-2）代入得：，
解得：，
故直线BD的解析式为y=x-2，
∴当y=0时，
∴x=1.5．
即C（1.5，0），
于是OC=1.5，DO=2，
在Rt△OCD中，DC=，
∴sin∠DCO=．
说明：过点B作BE⊥y轴于E，则BE=3，DE=4，从而BD=5，sin∠DCO=sin∠DBE=．