Question

如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，可以知道四边形ADFB是正方形，因而BF=AB=OC=2，则CF=3-2=1，因而E、F的坐标就可以求出．
（2）顶点为F的坐标根据第一问可以求得是（1，2），因而抛物线的解析式可以设为y=a（x-1）2+2，以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，应分EF是腰和底边两种情况进行讨论．
当EF是腰，EF=PF时，已知E、F点的坐标可以求出EF的长，设P点的坐标是（0，n），根据勾股定理就可以求出n的值．得到P的坐标．
当EF是腰，EF=EP时，可以判断E到y轴的最短距离与EF的大小关系，只有当EF大于E到y轴的距离，P才存在．
当EF是底边时，EP=FP，根据勾股定理就可以得到关于n的方程，就可以解得n的值．
（3）作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点．求出线段E′F′的长度，就是四边形MNFE的周长的最小值．
【解析】
（1）E（3，1）；F（1，2）．

（2）在Rt△EBF中，∠B=90°，
∴EF=．
设点P的坐标为（0，n），其中n＞0，
∵顶点F（1，2），
∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2+2（a≠0）．
①如图1，
当EF=PF时，EF2=PF2，
∴12+（n-2）2=5．
解得n1=0（舍去）；n2=4．
∴P（0，4）．
∴4=a（0-1）2+2．
解得a=2．
∴抛物线的解析式为y=2（x-1）2+2
②如图2，
当EP=FP时，EP2=FP2，
∴（2-n）2+1=（1-n）2+9．
解得（舍去）
③当EF=EP时，EP=，这种情况不存在．
综上所述，符合条件的抛物线解析式是y=2（x-1）2+2．

（3）存在点M，N，使得四边形MNFE的周长最小．
如图3，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，
连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点．
∴E′（3，-1），F′（-1，2），NF=NF′，ME=ME′．
∴BF′=4，BE′=3．
∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=E′F′=．
又∵，
∴FN+MN+ME+EF=5+，此时四边形MNFE的周长最小值是．