Question

如图，已知正方形ABCD边长为10cm，点M从C到D以1cm/s的速度运动．将正方形ABCD折叠，使顶点A与点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．设点M的运动时间为t（0＜t＜10），单位：s．
（1）求证：△DEM∽△CMG；
（2）当t=5s时，求△DEM的周长；
（3）当5＜t＜10时，求△CMG的周长．

Answer

（1）根据折叠的性质知：∠EMG=∠A=90°，故∠DME+∠CMG=90°，又∠DME+∠DEM=90°，可得：∠DEM=∠CMG，又∠D=∠C=90°，可证：△DEM∽△CMG；
（2）当t=5时，可得：DM=CM=5，由折叠性质知：EM=EA，故△DEM的周长为DM+DE+EM=DM+DE+EA=DM+DA=15cm；
（3）CM=t，DM=10-t，在Rt△DEM中，根据勾股定理可将DE，EM的长求出，根据△DEM∽△CMG，可将CG，MG的长求出，将MC，CG，MG三者相加即为△CMG的周长．
【解析】
（1）根据折叠的性质知：∠EMG=∠A=90°
∴∠DME+∠CMG=90°
∵∠DME+∠DEM=90°
∴∠DEM=∠CMG
∵∠D=∠C=90°
∴△DEM∽△CMG．

（2）根据折叠的性质知：EM=EA，当t=5时，DM=CM=5
∴△DEM的周长为：DM+DE+EM=DM+DE+EA=DM+DA=15cm；

（3）依题意得：CM=t，DM=10-t，
设EM=EA=x，则DE=10-x
在Rt△DEM中，EM2=DE2+DM2，
即x2=（10-x）2+（10-t）2
解得：x=10-t+，DE=10-x=t-
∵△DEM∽△CMG
∴=
即=，
解得：GM=
同理可得：CG=
∴△CMG的周长为：CM+CG+MG=20cm．