Question

如图，在直角坐标系中，四边形OABC为正方形，顶点A、C在坐标轴上，以边AB为弦的⊙M与x轴相切，M在双曲线上，若A（0，8），则k=    ．

Answer

由于M在双曲线上，要求k的值，只需求出点M的坐标．为此，过点M作MD⊥x轴于D，延长DM交AB于E，过点M作MF⊥y轴于F，设⊙M与OA交于点G．先根据垂径定理得出OD=OC=4，得出点M的横坐标为-4，AF=FG=AG．再由切割线定理可知OD2=OG•OA，从而得出OG的长度，得出点M的纵坐标为5，最后运用待定系数法求出k的值．
【解析】
过点M作MD⊥x轴于D，延长DM交AB于E，过点M作MF⊥y轴于F，设⊙M与OA交于
点G．
∵四边形OABC为正方形，
∴OC=OA=AB=8，OC∥AB，
又∵MD⊥OC，MF⊥AG，
∴MD⊥AB，
∴AE=BE=OD=4，AF=FG=AG．
∵OC是⊙M的切线，OA是⊙M的割线，
∴OD2=OG•OA，
∴16=8OG，
∴OG=2，
∴AG=OA-OG=8-2=6，
∴FG=3，OF=OG+FG=5．
∴点M的坐标为（-4，5），
∵M在双曲线上，
∴k=-4×5=-20．
故答案为：-20．