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阅读材料:
如图1,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:
S△ABC=manfen5.com 满分网ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
解答下列问题:
如图2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式;
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连接PA,PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及S△CAB
(3)是否存在一点P,使S△PAB=manfen5.com 满分网S△CAB?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)已知了顶点C坐标,可用顶点式的二次函数通式设出这个二次函数,然后根据A点的坐标可求出二次函数的解析式.然后根据求出的二次函数的解析式,求出B点的坐标,然后可用待定系数法用B、A的坐标求出AB所在直线的解析式; (2)要求三角形CAB的面积,根据题中给出的求三角形面积的求法,那么要先求出水平宽和铅垂高,求铅垂高就要求出C,D两点纵坐标,C点的坐标已知,可用(1)中的一次函数求出D点的纵坐标,那么C,D两点的纵坐标的差的绝对值就是三角形CAB的铅垂高,而水平宽是A点的横坐标,这样可根据题中给出的求三角形的面积的方法得出三角形CAB的面积; (3)可先根据(2)中三角形CAB的面积得出三角形PAB的面积,三角形PAB中,水平宽是A的横坐标为定值,因此根据三角形PAB的面积可得出此时的铅垂高,然后用抛物线的解析式以及一次函数的解析式,先表示出铅垂高,然后根据由三角形PAB的面积求出的铅垂高可得出关于x的方程,即可得出x的值,然后代入二次函数式中即可得出此点的坐标. 【解析】 (1)设抛物线的解析式为:y1=a(x-1)2+4 把A(3,0)代入解析式求得a=-1 所以y1=-(x-1)2+4=-x2+2x+3 设直线AB的解析式为:y2=kx+b 由y1=-x2+2x+3求得B点的坐标为(0,3) 把A(3,0),B(0,3)代入y2=kx+b中 解得:k=-1,b=3 所以y2=-x+3; (2)因为C点坐标为(1,4) 所以当x=1时,y1=4,y2=2 所以CD=4-2=2 S△CAB=×3×2=3(平方单位); (3)假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为x,△PAB的铅垂高为h, 则h=y1-y2=(-x2+2x+3)-(-x+3)=-x2+3x 由S△PAB=S△CAB 得:×3×(-x2+3x)=×3 化简得:4x2-12x+9=0 解得,x= 将x=代入y1=-x2+2x+3中, 解得P点坐标为(,).
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考点分析:
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(1)在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°,求证:AB+AD=AC;
(2)在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)在图3中:①∠MAN=60°,∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD=______AC;
②若∠MAN=α(0°<α<180°),∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD=______AC(用含α的三角函数表示),并给出证明.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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