Question

如图，Rt△ABC和Rt△CDE中，∠A=30°，∠E=45°，AB=CE，∠BCD=30°，FG⊥AB，下列结论：①CH=FH；②BC=GC；③四边形BDEF为平行四边形；④FH=GF+BH．其中正确的结论是（ ）

A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④

Answer

在Rt△ACB中，由∠A为30°，得到∠ABC为60°，又∠BCD=30°，得到∠AHC为直角，再由Rt△CDE中，∠E=45°，得到∠ECD也为45°，故△FCH为等腰直角三角形，从而得到FH=CH，选项①正确；过G作GM于CD垂直，交CD于M，由三个角为直角的四边形为矩形得到四边形GMHF为矩形，根据矩形的对边相等，得到GF=MH，GM=FH，等量代换得到GM=CH，由一对直角相等，再根据同角的余角相等得到一对角相等，利用“AAS”得到三角形CGM与三角形CBH全等，根据全等三角形的对应边相等得到CG=CB，选项②正确；再根据刚才的全等得到GM=CH，由FH=CH=CM+MH，等量代换得到选项④正确；要使四边形FBDE为平行四边形，由一对直角即同位角相等，得到BF与DE平行，还要使EC与DB平行，故要使同旁内角互补，即要∠HBD为45°，而∠HBD不一定为45°，故选项⑤不一定成立，综上，得到正确结论的选项．
【解析】
∵Rt△ABC中，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，又∠BCD=30°，
∴∠FHC=90°，
又Rt△CDE中，∠E=45°，
∴∠ECD=45°，
∴△FCH为等腰直角三角形，
∴FH=HC，故选项①正确；
过G作GM⊥CD，交CD于M，
∴∠GMD=90°，
∴∠GCM+∠CGM=90°，又∠ACB=90°
∴∠GCM+∠BCH=90°，
∴∠CGM=∠BCH，
∵∠FHM=90°（已证），又GF⊥AB，∴∠GFH=90°，
∴四边形GMHF为矩形，
∴GM=FH，GF=MH，
又FH=CH，
∴GM=CH，
又∵∠GMC=∠CHB=90°，
∴△GCM≌△CBH（AAS），
∴CM=BH，BC=CG，故选项②正确；
∴FH=CH=CM+MH=BH+GF，故选项④正确；
∵∠AHC=∠EDC=90°，
∴FB∥ED，
要使四边形BDEF为平行四边形，还需BD∥EC，
即要∠FCB+∠CBD=180°，
而∠FCB=∠ECD+∠DCB=45°+30°=75°，
故要∠CBD=∠CBA+∠ABD=105°，又∠CBA=60°，
即要∠ABD=45°，而∠ABD不一定等于45°，
故选项③不一定成立，
则其中正确的结论有①②④．
故选B