Question

武汉黄陂云雾山郊野公园，享有“西陵胜地，楚北名区，陂西陲障，汉地祖山”的美誉，山间环境幽雅宜人，风景秀美如画．每逢春夏之交，云雾山杜鹃花红白相间艳丽多姿，漫山遍野竟相开放，游人极多，不利于景区生态建设．为控制游客人数，并且保证经济收入，景区准备提高门票价格，已知每张门票价格为30元时，平均每天有游客4000人，经调研知，若每张门票价格每增加10元，平均每游客减少500人，物价部门规定，每张门票不低于30元，不高于100元．设每天游客人数为y（人），每张门票价格涨价x（元）（x为10的倍数）．
（1）写出y与x之间的函数关系式，并写出自量x的取值范围；
（2）若某天的门票收入为15万元，此收入是否为每天的门票最大收入？请说明理由；
（3）请分析并回答门票价格在什么范围内每天门票收入不低于12万元．

Answer

（1）利用每张门票价格为30元时，平均每天有游客4000人，每张门票价格每增加10元，平均每游客减少500人，即可得出y与x之间的关系式；
（2）利用配方法求出顶点坐标即可；
（3）结合二次函数图象即可得出不等式的解集．
【解析】
（1）y=-50x+4000（0≤x≤70）；

（2）是每天最大利润．设每天利润为w，
则w=（-50x+4000）（x+30），
=-50x2+2500x-120000，
=-50（x-25）2+151250，
又x为10的整数倍，
∴当x=20或30时，w最大=-50×25+151250=150000．∴是每天的最大利润．

（3）-50x2+2500x+120000≥120000，
画图象得0≤x≤50，
即30≤定价≤80时每天利润不低于12万．