Question

如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为AB上一动点，连接DB、DP，AE⊥DP于E．
（1）如图①，若P为AB的中点，则=______；=______；
（2）如图②，若时，证明AC=4BF；
（3）如图③，若P在BA的延长线上，当=______时，．

Answer

（1）延长AF交BC于M，证△ABM≌△DAP，得BM=AP，再根据△MBF∽△ADF对应边成比例列出比例式==，然后再根据正方形的边长相等，对角线相等进行转化即可求解；
（2）先根据已知条件求出=，然后同（1）的方法作出辅助线即可进行证明；
（3）同前两小题的思路，延长CB交AF于点M，然后同（1）的求解思路进行求解计算．
【解析】
（1）延长AF交BC于M，
∴∠BAM+∠AMB=90°
∵AE⊥DP，
∴∠BAM+∠DPA=90°，
∴∠AMB=∠DPA，
在△ABM≌△DAP中，，
∴△ABM≌△DAP（AAS），
∴AP=BM（全等三角形对应边相等），
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥AD，
∴△MBF∽△ADF，
∴=，
∵点P是AB的中点，
∴AP=BM=AB=AD，
∴===，
∴==，
即=，
又∵AC=BD，
∴=；
故答案为：，；

（2）∵=，
∴==，
即=，
方法同（1），延长AF交BC于M，
则===，
∴==，
即=，
∵正方形的对角线AC=BD，
∴=，
∴AC=4BF；

（3）延长CB交AF于点M，方法同（1）可得==，
∴=，
∴=，
即=，
∵正方形的对角线AC=BD，
∴=．
故答案为：．