Question

已知抛物线y=ax²+3ax+b交x轴分别于A、B（1，0），交y轴于C（0，2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图（1），P为抛物线第三象限的点，若S_△PAC=2S_△PBC，求P点坐标；
（3）如图（2），D为抛物线的顶点，在抛物线上是否存在点Q，使△ADQ为锐角三角形？若存在，求出Q点横坐标的取值范围．

Answer

（1）将B、C两点坐标代入抛物线解析式，可求a、b的值，确定抛物线解析式；
（2）设PC交线段AB于M点，只需要AM=2MB即可，根据A、B两点坐标求M点坐标，再求直线CM，与抛物线解析式联立，可求P点坐标；
（3）根据∠ADQ=90°，∠DAQ=90°分别求Q点的横坐标，得出△ADQ为锐角三角形时，Q点横坐标的取值范围．
【解析】
（1）把B（1，0），C（0，2）代入y=ax2+3ax+b中，得
，
解得，
∴；

（2）设PC交x轴于M，由（1）可知，A（-4，0），
∴AB=5，
若S△PAC=2S△PBC，
则AM=2MB=AB=，M点横坐标为-（4-AM）=-，
∴直线CM：y=3x+2，联立
得P（-9，-25）；

（3）连接CD，
∵A（-4，0），D（-，），
∴直线AD：y=x+5，
过A作AD的垂线，交抛物线于N点，
则直线AN：y=-x-，联立，
解得N（，-），
同理，过D作AD的垂线，得N′（，），
∴＜xQ＜．