Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点F，弦AE⊥CD于点H，连接CE、OH．
（1）求证：△ACE∽△CFB；
（2）若AC=6，BC=4，求OH的长．

Answer

（1）△ACE、△CFB中，已知的相等角有∠CEA=∠CBA（同弧所对的圆周角），只需再找出一组对应角相等即可；易知∠ACB是直角，由于CD平分∠ACB，则∠ACH=∠FCB=45°；在Rt△CAH中，易证得∠HAC=45°，则∠CAH=∠FCB，由此得证；
（2）本题需通过构建直角三角形求解；延长CB交AE的延长线于M；由于∠ACB=90°，∠CAE=45°，易证得△CAM是等腰Rt△，由此可求出CM、BM的长；△ACM中，根据等腰三角形三线合一的性质可知：H是AM的中点，则OH是△ABM的中位线，即OH=BM，由此得解．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°；
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠FCB=45°；
∵AE⊥CD，
∴∠CAE=45°=∠FCB；
在△ACE与△BCF中，∠CAE=∠FCB，∠E=∠B，
∴△ACE∽△CFB；

（2）【解析】
延长AE、CB交于点M；
∵∠FCB=45°，∠CHM=90°，
∴∠M=45°=∠CAE；
∴HA=HC=HM，CM=CA=6；
∵CB=4，
∴BM=6-4=2；
∵OA=OB，HA=HM，
∴OH是△ABM的中位线，
∴OH=BM=1．