Question

己知方程x²-x-1=0的根是方程x⁶-px²+q=0的根，则p=    ，q=    ．

Answer

根据韦达定理求得设方程x2-x-1=0的二根分别为x1、x2，由韦达定理，得x1+x2=1，x1•x2=-1；然后将x1、x2分别代入方程x6-px2+q=0列出方程组，再通过解方程组求得pq的值．
【解析】
设方程x2-x-1=0的二根分别为x1、x2，由韦达定理，得x1+x2=1，x1•x2=-1，则
x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=-1+2=3，
（x12）2+（x22）2=（x12+x22）2-2x12•x22=7．
将x1、x2分别代入方程x6-px2+q=0，得
x16-px12+q=0…①
x26-px22+q=0…②
①-②，得
（x16-x26）-p（x12-x22）=0，
【（x12）3-（x22）3】-p（x12-x22）=0，
（x12-x22）【（x12）2+（x22）2+x12•x22】-p（x12-x22）=0，
由于x1≠x2，则x12-x22≠0，所以化简，得
【（x12）2+（x22）2+x12•x22】-p=0，
则p=（x12）2+（x22）2+（x1•x2）2=7+（-1）2=8，
①+②，得
（x16+x26）-8（x12+x22）+2q=0，
【（x12）3+（x22）3】-24+2q=0，
∴（x12+x22）【（x12）2+（x22）2-x12•x22】-24+2q=0，
∴3【（x12）2+（x22）2-（x1•x2）2】-24+2q=0，
∴3（7-1）-24+2q=0，解得
q=3；
综上所述，p=8，q=3．
故答案是：8、3．