Question

试求出所有满足下列条件的正整数a，b，c，d，其中1＜a＜b＜c＜d，且abcd-1是（a-1）•（b-1）•（c-1）•（d-1）的整数倍．

Answer

首先由abcd-1是（a-1）•（b-1）•（c-1）•（d-1）的整数倍得出，设k=，确定k的取值范围，
再分别确定a，b，c，d的取值．
【解析】
设k=，则由题意，k为正整数，
∴a，b，c，d都是奇数或都是偶数，
且1＜k＜×，
又易证：对于任意的正整数m，n且m＞1，有，
∵1＜a＜b＜c＜d，
∴当a≥5时，，，，，
∴1＜k＜=2，
即1＜k＜2，
这是不可能的，∴1＜a≤4，
当a=4时，则b，c，d都是偶数，从而k为奇数，
∴b≥6，c≥8，d≥10，k≥3，
∴3≤k＜=＜3，
即3≤k＜3，这是不可能的．
当a=3时，则b，c，d都是奇数，
∴b≥5，c≥7，d≥9，
∴1≤k＜=＜3，
∴k=2，
若b=7，则k=，于是分子不是3的倍数，而分母是3的倍数．
从而k不是整数，∴b≠7，
若b≥9，则由于c-1，d-1都不是3的倍数，
∴2=k＜=2，这是不可能的，
∴a=3时，k=2，b=5，
∴2=cd-16c-16d+17=0，
∴（c-16）（d-16）=239为质数，
∴c-16=1，d-16=239，
∴a=3，b=5，c=17，d=255是符合题意的一组值．
当a=2时，b，c，d为偶数．k为奇数，
∴3≤k＜2×=＜4，
∴k=3，
∴2bcd-1=3（b-1）（c-1）（d-1），
∴bcd不是3的倍数．
若b≠4，则b≥8，c≥10，d≥14，于是k＜2×=＜3，
k=3矛盾，∴a=2时，b=4，k=3，
∴3=，
∴（c-9）（d-9）=71为质数，
∴c-9=1，d-9=71，
∴a=2，b=4，c=10，d=80是符合题意的另一组值．
综上所述，所以满足条件的正整数解a，b，c，d有两组解．
和．