Question

已知关于x的二次函数y=x²-（2m-1）x+m²+3m+4．
（1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数；
（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁²+x₂²=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式．

Answer

（1）由△=b2-4ac可写出用m表示的△关系式，分别讨论m在取不同的值时二次函数y的图象与x轴的交点的个数；
（2）由根与系数的关系可把x12+x22转换为m的表达式，由此可得方程2m2-10m-7=5，求出m的值可得二次函数解析式；则根据函数表达式可求出顶点M及与y轴交点C的坐标，使用代入法可求得直线CM的解析式．
【解析】
（1）令y=0，得：x2-（2m-1）x+m2+3m+4=0，
∴△=（2m-1）2-4（m2+3m+4）=-16m-15，
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即-16m-15＞0，
∴m＜-，
此时y的图象与x轴有两个交点；
当△=0时，方程有两个相等的实数根，即-16m-15=0，
∴m=-，
此时，y的图象与x轴只有一个交点；
当△＜0时，方程没有实数根，即-16m-15＜0，
∴m＞-，
此时y的图象与x轴没有交点．
∴当m＜-时，y的图象与x轴有两个交点；
当m=-时，y的图象与x轴只有一个交点；
当m＞-时，y的图象与x轴没有交点．

（2）由根与系数的关系得x1+x2=2m-1，x1x2=m2+3m+4，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（2m-1）2-2（m2+3m+4）=2m2-10m-7，
∵x12+x22=5，
∴2m2-10m-7=5，
∴m2-5m-6=0，
解得：m1=6，m2=-1，
∵m＜-，
∴m=-1，
∴y=x2+3x+2，
令x=0，得y=2，
∴二次函数y的图象与y轴的交点C坐标为（0，2），
又y=x2+3x+2=（x+）2-，
∴顶点M的坐标为（-，-），
设过C（0，2）与M（-，-）的直线解析式为y=kx+b，
解得k=，b=2，
∴所求的解析式为y=x+2．