Question

关于x的方程|x²-x|-a=0，给出下列四个结论：
①存在实数a，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数a，使得方程恰有3个不同的实根；
③存在实数a，使得方程恰有4个不同的实根；④存在实数a，使得方程恰有6个不同的实根；
其中正确的结论个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

首先由：|x2-x|-a=0，可得a≥0，然后分析若x2-x＞0时，由判别式可知此时方程有两个不相等的实数根，又由x2-x＜0时，分析当△=-4a+1＞0时，有两个不相等的实数根，当△=-4a+1=0时，有两个相等的实数根，当△=-4a+1＜0时，没有的实数根，即可求得答案．
【解析】
∵|x2-x|-a=0，
∴|x2-x|=a，
∴a≥0，
若x2-x＞0，
则x2-x-a=0，
∴△=（-1）2+4a=4a+1＞0，
此时方程有两个不相等的实数根．
若x2-x＜0，
则-x2+x-a=0，即则x2-x+a=0，
∴△=（-1）2-4a=-4a+1，
当-4a+1＞0时，0≤a＜，
此时方程有两个不相等的实数根，
当-4a+1=0时，a=，
此时方程有两个相等的实数根，
当-4a+1＜0时，a＞，
此时方程没有的实数根；
∴当0≤a＜时，使得方程恰有4个不同的实根，故③正确；
当a=时，使得方程恰有3个不同的实根，故②正确；
当a＞时，使得方程恰有2个不同的实根，故①正确．
∴正确的结论是①②③．
故选C．