Question

如图所示：过圆外一点F作⊙O的两条切线FA、FD，AB是⊙O的直径，过O作OC∥AD，交FD的延长线于C，连CB，
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）过D点作DE⊥AB于E，交AC于P，求证：DP=PE．

Answer

（1）根据已知得出BO=DO，CO=OC，以及∠DOC=∠COB，可得证明△CDO≌△CBO，即可证出；
（2）由切线长定理、相似关系或平行线分线段成比例定理，利用比例关系式求解．
（1）证明：连接DO，∵过圆外一点F作⊙O的两条切线FA、FD，AB是⊙O的直径，
∴DO⊥CF，
∵OC∥AD，
∴∠DOC=∠ADO，∠COB=∠ODA，
∵AO=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠DOC=∠COB，
∵BO=DO，CO=OC，
∴△CDO≌△CBO，
∴∠CDO=∠CBO=90°，
∴CB是⊙O的切线；

（2）证明：由切线长定理，
可设FA=FD=a，CD=CB=b（切线长定理），则CF=a+b，
∵FA∥DE，所以DP：FA=CD：CF，
即DP：a=b：（a+b），
∴DP=ab/（a+b）；
∵DE∥BC，所以PE：BC=AP：AC=DF：CF，
即PE：b=a：（a+b），
∴PE=ab/（a+b）；
∴DP=PE．