Question

如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别是BC、AC上任意一点，
（1）求证：AD²+BE²=AB²+DE²；
（2）若BC、AC、AB三边长分别为a、b、c，且a、b、c均为整数，求证：a、b中必有一个是3的倍数．

Answer

（1）由勾股定理可得：AD2=AC2+CD2，BE2=CE2+BC2，CD2+CE2=DE2，AC2+BC2=AB2，即：AD2+BE2=AC2+BC2+CD2+CE2，将DE2，AB2等价替换其中相应的值即可．
（2）为了推出矛盾，我们应用同余的理论，为了证明a、b中必有一个是3的倍数，首先证明a、b、c中至少有一个是3的倍数，然后证明c不是3的倍数，从而得出a、b中至少有一个是3的倍数．
证明：（1）∵∠C=90°，由勾股定理可得：
AD2=AC2+CD2，BE2=CE2+BC2，
又∵CD2+CE2=DE2，AC2+BC2=AB2，
∴AD2+BE2=AC2+BC2+CD2+CE2=AB2+DE2；

（2）根据题意有：a2+b2=c2，其中a、b、c均为整数．
①若a、b、c都不是3的倍数，则它们可表示为3n+1或3n-1的形式（n为正整数），
∵（3n±1）2=9n2±6n+1，
∴a2+b2≡2（mod 3），c2≡1（mod 3）．
故a2+b2≠c2．矛盾．
因此，a、b、c中至少有一个是3的倍数
②若c是3的倍数，且a、b都不是3的倍数，
则a2+b2≡2（mod 3），c2≡0（mod 3）．
故a2+b2≠c2，矛盾．
故c不是3的倍数．
∴a、b中至多有一个是3的倍数．