Question

若a、b为整数，且x²-x-1是ax¹⁷+bx¹⁶+1的因式，则a的值为    ．

Answer

由x2-x-1是ax17+bx16+1的因式，可得当x2-x-1=0时，ax17+bx16+1=0，所以可设x1，x2是x2-x-1=0的两根，即可得方程组：，然后可消去b，根据根与系数的关系，即可得a（x1-x2）=x116-x216，再利用因式分解的知识，即可求得a的值．
【解析】
∵x2-x-1是ax17+bx16+1的因式，
∴当x2-x-1=0时，ax17+bx16+1=0，
设x1，x2是x2-x-1=0的两根，
∴x1+x2=1，x1•x2=-1，
∴，
①×x216-②×x116得：ax117x216+x216-（ax217x116+x116）=0，
∴a（x1-x2）=x116-x216，
∴a=（x18+x28）（x14+x24）（x12+x22）（x1+x2），
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=3，
同理可得：x14+x24=9-2=7，x18+x28=49-2=47，
∴a=47×7×3×1=987．
故答案为：987．