Question

已知二次函数y=x²+2mx-n²．
（1）若此二次函数的图象经过点（1，1），且记m，n+4两数中较大者为P，试求P的最小值；
（2）若m、n变化时，这些函数的图象是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，则过这三个交点作圆，证明：这些圆都经过同一定点，并求出该定点的坐标．

Answer

（1）本题需先根据题意把点（1，1）代入二次函数式中，求出m的值，再用m和n+4进行相减，然后进行讨论即可求出答案．
（2）根据已知条件，设出三点的坐标，然后x1与x2相乘，再分别进行讨论即可求出答案．
【解析】
（1）由二次函数过点（1，1），
得m=，
∴m-（n+4）=-（n+4），
= （n2-2n-8），
= （n-4）（n+2），
∴P=，n≤-2或n≥4；
P=n+4，-2＜n＜4，
再利用函数图象可知，当n=-2时，Pmin=2；

（2）图象与坐标轴有三个不同的交点，
可设交点坐标为A（x1，0）、B（x2，0）、C（0，-n2）．
又x1x2=-n2，
若n=0，则与三个交点不符，
故x1x2=-n2＜0．
所以，x1、x2在原点左右两侧．
又|x1x2|=n2×1，
所以，存在点P0（0，1）使得|OA|•|OB|=|OP0|•|OC|．
故A、B、C、P0四点共圆，即这些圆必过定点P0（0，1）．