Question

已知两个关于x的二次函数y₁与y₂，y₁=a（x-k）²+2（k＞0），y₁+y₂=x²+6x+12；当x=k时，y₂=17；且二次函数y₂的图象的对称轴是直线x=-1．
（1）求k的值；
（2）求函数y₁，y₂的表达式；
（3）在同一直角坐标系内，问函数y₁的图象与y₂的图象是否有交点？请说明理由．

Answer

（1）根据题意把y1代入y1+y2=x2+6x+12中即可求出y2，又当x=k时，y2=17，代入函数解析式，求出k的值；
（2）根据k的值及y2的图象的对称轴求出a的值，即可求出二次函数的解析式；
（3）根据题意画出各函数的图象，便可直接解答；
【解析】
（1）由y1=a（x-k）2+2，y1+y2=x2+6x+12，
∴y2=（y1+y2）-y1，
=x2+6x+12-a（x-k）2-2，
=x2+6x+10-a（x-k）2，
又∵当x=k时，y2=17，
即k2+6k+10=17，
∴k1=1，或k2=-7（舍去），
故k的值为1；

（2）由k=1，得y2=x2+6x+12-a（x-1）2-2=（1-a）x2+（2a+6）x+10-a，
∴函数y2的图象的对称轴为x=-，
∴-=-1，
∴a=-1，
所以y1=-x2+2x+1，y2=2x2+4x+11；

（3）由y1=-（x-1）2+2，得函数y1的图象为抛物线，其开口向下，
顶点坐标为（1，2）；
由y2=2x2+4x+11=2（x+1）2+9，得函数y2的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为（-1，9）；
故在同一直角坐标系内，函数y1的图象与y2的图象没有交点．