Question

已知：如图，有一块含30°的直角三角板OAB的直角边长BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且AB=3．
（1）若双曲线的一个分支恰好经过点A，求双曲线的解析式；
（2）若把含30°的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后，斜边OA恰好与x轴重叠，点A落在点A′，试求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer

（1）要求双曲线的解析式，主要是求得点A的坐标，根据30°的直角三角形的性质即可求得OB的长，则得到点A的坐标，再根据待定系数法进一步求得双曲线的解析式；
（2）阴影部分的面积即为扇形OAA′的面积减去三角形OCD的面积．
【解析】
（1）在Rt△OBA中，∠AOB=30°，AB=3，
=，
∴OB=AB•=3，
∴点A（3，3）．
设双曲线的解析式为y=（k≠0）．
∴3=，k=9．
则双曲线的解析式为y=．

（2）在Rt△OBA中，∠AOB=30°，AB=3，
sin∠AOB=，sin30°=，
∴OA=6．
由题意得：∠AOC=60°，
S扇形AOA′=．
在Rt△OCD中，∠DOC=45°，OC=OB=3，
∴OD=OC•cos45°=3•．
∴S△ODC=．
∴S阴影=S扇形AOA′-S△ODC=6π-．