Question

如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，若AE=10，则CE的长为    ．

Answer

过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG=CE，连接BG．求证△BEC≌△BMG，△ABE≌△ABG，设CE=x，在直角△ADE中，根据AE2=AD2+DE2求x的值，可以求CE的长度．
【解析】
过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，
延长DM到G，使MG=CE，连接BG，
易知四边形BCDM是正方形，
所以BC=BM，∠C=∠BMG=90°，EC=GM，
∴△BEC≌△BMG（SAS），
∴∠MBG=∠CBE，
∵∠ABE=45°，
∴∠CBE+∠ABM=45°，
∴∠GBM+∠ABM=45°，
∴∠ABE=∠ABG=45°，
∴△ABE≌△ABG，AG=AE=10，
设CE=x，则AM=10-x，
AD=12-（10-x）=2+x，DE=12-x，
在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，
∴100=（x+2）2+（12-x）2，
即x2-10x+24=0；
解得：x1=4，x2=6．
故CE的长为4或6．