Question

如图1，在直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，且点C坐标为（4，3），将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上．
（1）求k的值；
（2）如图2，在直角坐标系中，P点坐标为（2，-3），请在双曲线上找两点M、N，使四边形OPMN是平行四边形，求M、N的坐标．

Answer

（1）作出折叠后的草图，根据反比例函数解析式表示出点EF的坐标，过点E作EH⊥OB，可得△EGH∽△GFB，根据相似三角形的对应边成比例列式整理，然后在△GFB中利用勾股定理计算即可求出k值；
（2）利用反比例函数解析式设出点M的坐标，然后把平行四边形OPMN看作是边PM沿PO方向平移得到的，根据点P与点O对应关系，由点M的坐标表示出点N的坐标，然后再代入函数解析式，计算即可求解．
【解析】
（1）设E（，3），F（4，），
将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的G点，作EH⊥OB，垂足为H，
∵∠EGH+∠HEG=90°∠EGH+∠FGB=90°，
∴∠HEG=∠FGB，
又∵∠EHG=∠GBF=90°，
∴△EGH∽△GFB（AA），
∴=，
代入解得：GB==，
在Rt△GBF中，GF2=GB2+BF2，代入得，
解得；

（2）平行四边形OPMN，可以看成线段PM沿PO的方向平移至ON处所得．
设M（a，），
∵P（2，-3）的对应点O（0，0），
∴N（a-2，+3），
代入反比例解析式得：（a-2）（ +3）=，
整理得4a2-8a-7=0，
解得：a=，a=（舍去），
==，
-2=，+3=，
所以M（，），N（，）
或M（，）N（，）．