Question

如图1，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂两个三角形（如图2），将纸片△AC₁D₁沿直线D₂B（AB）方向平移（点A、D₁、D₂、B始终在同一直线上），当点D₁与点B重合时，停止平移．在平移过程中，C₁D₁与BC₂交于点E，AC₁与C₂D₂、BC₂分别交于点F、P．
（1）当△AC₁D₁平移到如图3所示的位置时，猜想图中的D₁E与D₂F的数量关系，并证明你的猜想；
（2）设平移距离D₂D₁为x，△AC₁D₁与△BC₂D₂重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，并求出函数y的最值．

Answer

（1）由题意可得C1D1=C2D2=BD2=AD1，根据两直线平行，同位角相等，及等腰三角形的性质，可得到AD2=D2F；同理：BD1=D1E，即可得出D1E=D2F．
（2）由题意，D2D1=x，则D1E=BD1=D2F=AD2=5-x，在△BC2D2中，C2到BD2的距离就是△ABC的AB边上的高，根据△ABC的面积可得高为，设△BED1的BD1边上的高为h，可证△BC2D2∽△BED1，所以；分别表示出△BED1和
△FC2P的面积，根据重叠部分面积为y=S△BC2D2-S△BED1-S△FC2P，可求出y与x的函数关系式，求出最小值即可；
【解析】
（1）D1E=D2F．
∵C1D1∥C2D2，
∴∠C1=∠AFD2，
又∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，
∴DC=DA=DB，即C1D1=C2D2=BD2=AD1，
∴∠C1=∠A，
∴∠AFD2=∠A，
∴AD2=D2F；同理：BD1=D1E，
又∵AD1=BD2，
∴AD1-D1D2=BD2-D1D2，
∴AD2=BD1，
∴D1E=D2F；

（2）由题意得AB=10，AD1=BD2=C1D1=C2D2=5，
又∵D2D1=x，
∴D1E=BD1=D2F=AD2=5-x，
∴C2F=C1E=x，
在△BC2D2中，C2到BD2的距离就是△ABC的AB边上的高，
∴根据△ABC的面积可得高为，
设△BED1的BD1边上的高为h，可证△BC2D2∽△BED1，
∴；
∴，S△BED1==，
又∵∠C1+∠C2=90°，
∴∠FPC2=90°，
又∵∠C2=∠B，sinB=，cosB=，
∴，，S△FC2P=PC2×PF=，
∴y=S△BC2D2-S△BED1-S△FC2P=S△ABC--，
∴y==；
∴函数y的最小值是8．