Question

在上劳技课时，张老师拿出一张边长为的等边△ABC纸片，现要在这块纸片上裁剪出四个圆，若记这块△ABC纸片的中心为M，半径为m，在△ABC内部画一个⊙M后，再作三个半径都为n的等圆⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃，使它们分别与△ABC的两边相切，与⊙M外切，建立直角坐标系如图所示．
（1）写出点M的坐标；
（2）求出m与n的函数关系式，并求自变量n的取值范围约在哪两个数之间（精确到0.1）；
（3）若记这四个圆的面积总和为S，试问S有最小值吗？若有，求出这个最小值，并写出相应的m值．

Answer

（1）连接AM并延长交BC于N，根据等边三角形的性质求出BN，根据勾股定理求出AN，求出ON即可；
（2）连接DO3，求出AO3=2DO3=2n，根据AN的长度得到3=1+m+m+n+2n求出即可；
（3）根据圆的面积公式得到S=πm2+3πn2，代入求出即可．
【解析】
（1）连接AM并延长交BC于N，
∵M是等边△ABC的中心，
∴AM=2NM，AN⊥BC，CN=BN，∠BAN=∠BAC=30°，
由勾股定理得：AN==3，
∴MN=1，
∴M（，1），
答：点M的坐标是（，1）．

（2）连接DO3，
∵∠BAN=30°，∠O3DA=90°，
∴AO3=2DO3=2n，
∴3=1+m+m+n+2n，
∴m=-3n+2，（0.3＜n＜0.6）；
答：m与n的函数关系式是m=-3n+2，并求自变量n的取值范围约在0.3-0.6之间．

（3）S=πm2+3πn2=π（-3n+2）2+3πn2=π（12 n2-12n+4）=12π（n-0.5）2+π，
当n=0.5，即m=0.5时，S有最小值，最小值为S=π．
答：S有最小值，这个最小值是π，m值是0.5．