Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．
（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA-QO|的取值范围．

Answer

（1）点A的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点A的坐标为（8，0）；
点B的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为（0，6）；
由题意得：BC是∠ABO的角平分线，所以OC=CH，BH=OB=6
∵AB=10，∴AH=4，
设OC=x，则AC=8-x
由勾股定理得：x=3
∴点C的坐标为（3，0）
将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；
（2）求得直线BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得；
（3）如图，由对称性可知QO=QH，|QA-QO|=|QA-QH|．
当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线，
|QA-QO|取得最大值4（即为AH的长）；
设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K，
当点Q与点K重合时，|QA-QO|取得最小值0．
【解析】
（1）点C的坐标为（3，0）．（1分）
∵点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），
∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x-3）（x-8）．
将x=0，y=6代入抛物线的解析式，
得．（2分）
∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为．（3分）

（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，
设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．
直线BC的解析式为y=-2x+6.4分）
设点P的坐标为（x，-2x+6）．
解法一：如图，作OP∥AD交直线BC于点P，
连接AP，作PM⊥x轴于点M．
∵OP∥AD，
∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．
∴，
即．
解得．
经检验是原方程的解．
此时点P的坐标为．（5分）
但此时，OM＜GA．
∵，
∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，
∴直线BC上不存在符合条件的点P（6分）

解法二：如图，取OA的中点E，
作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于
点N．则∠PEO=∠DEA，PE=DE．
可得△PEN≌△DEG．
由，可得E点的坐标为（4，0）．
NE=EG=，ON=OE-NE=，NP=DG=．
∴点P的坐标为．（5分）
∵x=时，，
∴点P不在直线BC上．
∴直线BC上不存在符合条件的点P．（6分）

（3）|QA-QO|的取值范围是．（8分）
当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点K处），此时OK=AK，则|QA-QO|=0，
当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA-QO|最大，
直线AH的解析式为：y=-x+6，直线BC的解析式为：y=-2x+6，
联立可得：交点为（0，6），
∴OQ=6，AQ=10，
∴|QA-QO|=4，
∴|QA-QO|的取值范围是：0≤|QA-QO|≤4．