Question

四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为m、n．可以证明当AC⊥BD时（如图①），四边形ABCD的面积．那么当AC，BD所夹的锐角为θ时（如图②），四边形ABCD的面积S=（ ）

A．mn
B．mnsinθ
C．mncosθ
D．mntanθ

Answer

设AC、BD交于O点，在①图形中，设BD=m，OA+OC=n，所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC，由此可以求出四边形的面积；
在②图形中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，由于AC、BD夹角为θ，所以AE=OA•sinθ，CF=OC•sinθ，S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=BD•AE+BD•CF=BD•（AE+CF ），由此可求出面积．
【解析】
如图，设AC、BD交于O点，在①图形中，设BD=m，OA+OC=n，
所以S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=m•OC+m•OA=mn；
在②图形中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，

由于AC、BD夹角为θ，
所以AE=OA•sinθ，CF=OC•sinθ，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=BD•AE+BD•CF=BD•（AE+CF ）=mnsinθ．
故选B．