Question

如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（-3，1）、C（-3，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（-，1）、F（-，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．
（1）求折痕所在直线EF的解析式；
（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；
（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．

Answer

（1）根据E、F的坐标，设出直线式EF的解析式为y=kx+b，两点坐标代入，求出k和b即可；
（2）过B′作B′A′⊥BA于A′，在Rt△B′EA′中，通过解直角三角形可求出A′E、A′B′的长，通过证A′E=AE，得出B′在y轴上的结论，从而得出B′坐标，进而用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）连接B′C，由于B、B′关于EF所在直线对称，则B′C与折痕的交点即为所求的P点，可求出直线B′C的解析式，联立折痕EF的解析式即可求出P点坐标．
【解析】
（1）由于折痕所在直线EF过E（-，1）、F（-，0），则有：
∴设直线EF的解析式为y=kx+b，
∴；
解得k=，b=4，
所以直线EF的解析式为：y=x+4．

（2）设矩形沿直线EF向右下方翻折后，B、C的对应点为B′（x1，y1），C′（x2，y2）；
过B′作B′A′⊥AE交AE所在直线于A′点；
∵B′E=BE=2，∠B′EF=∠BEF=60°，
∴∠B′EA′=60°，
∴A′E=，B′A′=3；
∴A与A′重合，B′在y轴上；
∴x1=0，y1=-2，
即B′（0，-2）；【此时需说明B′（x1，y1）在y轴上】．
设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c，抛物线过B（-3，1）、E（-，1）、B′（0，-2）；
得到，
解得
∴该二次函数解析式y=-x2-x-2；

（3）能，可以在直线EF上找到P点；
连接B′C交EF于P点，再连接BP；
由于B′P=BP，此时点P与C、B′在一条直线上，故BP+PC=B′P+PC的和最小；
由于BC为定长，所以满足△PBC周长最小；
设直线B′C的解析式为：y=kx+b，则有：
，
解得；
∴直线B′C的解析式为：y=-x-2；
又∵P为直线B′C和直线EF的交点，
∴，
解得；
∴点P的坐标为（-，-）．