Question

如图，⊙O的直径AB=6cm，点P是AB延长线上的动点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC．若∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP的度数．

Answer

先根据切线的性质得到∠OCP=90°，再利用角平分线和圆周角的性质得到2∠A+2∠APM=90，即∠A+∠APM=45°，利用三角形的外角等于不相邻的两个内角和可知∠CMP=∠A+∠APM=45°，所以∠CMP的大小不发生变化．
【解析】
∠CMP的大小不发生变化．（1分）
连接OC，
PC是⊙O的切线，
∴∠OCP=90°．
∵PM是∠CPA的平分线，
∴∠APC=2∠APM．
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COP=∠A+∠ACO=2∠A．
在Rt△OCP中，∠OCP=90°，
∴∠COP+∠OPC=90°，
∴2∠A+2∠APM=90°，
∴∠CMP=∠A+∠APM=45°．（4分）
即∠CMP的大小不发生变化．