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如图,已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C. (1)用直尺和圆...

如图,已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C.
(1)用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心M的位置(不用写作法,保留作图痕迹).
(2)若A点的坐标为(0,4),D点的坐标为(7,0),求证:直线CD是⊙M的切线.
(3)在(2)的条件下,连接MA、MC,将扇形AMC卷成一个圆锥,求此圆锥的高.

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(1)连接AB、BC,分别作AB、BC的垂直平分线,两条直线相交于点M; (2)由A得到坐标是(0,4),可知B点坐标是(4,4),C点坐标是(6,2),设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E,连接MC,作直线CD,在Rt△CME中,利用勾股定理可求CM2,同样在Rt△CED中利用勾股定理可求CD2,而根据数值可知CM2+CD2=DM2,故利用勾股定理逆定理可证△CDM是直角三角形,即∠MCD=90°,则CD是⊙M的切线; (3)连接MA、MC,由于OA=ME=4,∠AOM=∠MEC=90°,CE=OM=2,利用SAS可证△AOM≌△MEC,再根据全等三角形的性质,易求出∠AMO+∠CME=90°,即∠AMC=90°,再利用勾股定理可求线段AM=MC=2,从而利用弧长公式可求弧AC=π,设扇形AMC卷成的圆锥如图3,作圆锥的高MG,连接AG,利用弧长公式可求AG=,在Rt△AGM中,利用勾股定理可求GM. (本题12分) 【解析】 (1)如图1,点M就是要找的圆心. 正确即可(2分) (2)证明:由A(0,4),可得小正方形的边长为1, 从而B(4,4)、C(6,2)(1分) 如图2,设过C点与x轴垂直的直线与x轴的 交点为E,连接MC,作直线CD, ∴CE=2,ME=4,ED=1,MD=5,(1分) 在Rt△CEM中,∠CEM=90°, ∴MC2=ME2+CE2=42+22=20, 在Rt△CED中,∠CED=90°, ∴CD2=ED2+CE2=12+22=5, ∴MD2=MC2+CD2,(1分) ∴∠MCD=90°,(1分) 又∵MC为半径, ∴直线CD是⊙M的切线.(1分) (3)连接MA(图2) ∵OA=ME=4,OM=CE=2,∠AOM=∠MEC=90°, ∴△AOM≌△MEC, ∴∠AMO=∠MCE, 又∵∠CME+∠MCE=90°,∠AMO+∠CME=90°, ∴∠AMC=90°, ∴AM⊥MC,(2分) 又∵MA=MC=, ∴弧AC的长=,(1分) 设扇形AMC卷成的圆锥如图3,作圆锥的高MG,连接AG,则AG=,(1分) ∴扇形AMC卷成的圆锥的高MG=.(1分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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