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如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+4x+5的图象交x轴于点A、B(点...

如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+4x+5的图象交x轴于点A、B(点A在点B的右边),交y轴于点C,顶点为P.点M是射线OA上的一个动点(不与点O重合),点N是x轴负半轴上的一点,NH⊥CM,交CM(或CM的延长线)于点H,交y轴于点D,且ND=CM.
(1)求证:OD=OM;
(2)设OM=t,当t为何值时以C、M、P为顶点的三角形是直角三角形?
(3)问:当点M在射线OA上运动时,是否存在实数t,使直线NH与以AB为直径的圆相切?若存在,请求出相应的t值;若不存在,请说明理由.

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(1)根据题意可证明∠OND=∠OCM,则△DON≌△MOC,则OD=OM; (2)根据抛物线的解析式求得点C、P的坐标,从而得出直线PC的解析式,根据两直线垂直,比例系数k互为负倒数,从而得出t的值; (3)假设存在实数t,以AB为直径的圆的半径为3,假设圆心为E,与直线NH的切点为F,可得△EFN∽△COM,根据相似三角形的性质求得t. 【解析】 (1)∵NH⊥CM,∴∠OND+∠OMC=90°, ∵∠OCM+∠OMC=90°,∴∠OND=∠OCM, ∵ND=CM,∴△DON≌△MOC, ∴OD=OM; (2)二次函数y=-x2+4x+5的顶点P(2,9),点C的坐标为(0,5), ∴直线PC的解析式为y=2x+5, ∵PC⊥CM,∴直线MC的解析式为y=-x+5, ∴点M的坐标为(10,0), ∴t=10; ∴当t为10时,以C、M、P为顶点的三角形是直角三角形; 设M(b,0) CM2=25+b2 PM2=81+(b-2)2 81+(b-2)2+20=25+b2 b=20 M(20,0) 当t=20时以C、M、P为顶点的三角形是直角三角形. (3)假设存在实数t,使直线NH与以AB为直径的圆相切,设圆心为E,与直线NH的切点为F, 由(1)可得△EFN∽△COM, ∴=, ∴=, 解得t=, ∴存在实数t=,使直线NH与以AB为直径的圆相切.
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考点分析:
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车次

特快列车
D106次列车
一等票二等票
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(注:学生票价打七折)
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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