Question

如图，在三角形ABC中，AC=BC，若将△ABC沿BC方向向右平移BC长的距离，得到△CEF，连接AE．试猜想，AE与CF有何位置上的关系？并对你的猜想给予证明．

Answer

猜想：AE与CF互相垂直平分．由于△CEF是△ABC沿BC平移得到的，那么可知AC∥EF，于是∠CAD=∠FED，∠ADC=∠EDF，结合AC=EF，易证△ACD≌△EFD，从而有CD=FD，AD=ED，而△CEF是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一定理可知AE⊥CF，从而可证AE与CF垂直且平分．
猜想：AE与CF互相垂直平分．
证明：∵△CEF是△ABC沿BC平移得到的，
∴AC∥EF，
∴∠CAD=∠FED，AC=EF，∠ADC=∠EDF，
∴△ACD≌△EFD，
∴CD=FD，AD=ED，
又∵CE=EF，
∴AE⊥CF，
∴AE与CF垂直且平分．