Question

已知抛物线y=x²+bx+1的顶点在x轴上，且与y轴交于A点．直线y=kx+m经过A、B两点，点B的坐标为（3，4）．
（1）求抛物线的解析式，并判断点B是否在抛物线上；
（2）如果点B在抛物线上，P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长h，点P的横坐标为x，当x为何值时，h取得最大值，求出这时的h值．

Answer

（1）由抛物线y=x2+bx+1的顶点在x轴上，即可得y=x2+bx+1=（x±1）2，即可得抛物线的解析式为y=x2-2x+1或y=x2+2x+1，然后将B（3，4）代入函数解析式即可确定B是否在抛物线上；
（2）由直线y=kx+m经过A、B两点，即可得直线AB的解析式，设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE．由PE=h=yP-yE，即可得当x为何值时，h取得最大值．
【解析】
（1）∵抛物线y=x2+bx+1的顶点在x轴上，
∴y=x2+bx+1=（x±1）2．
∴b=±2．
∴抛物线的解析式为y=x2-2x+1或y=x2+2x+1．（2分）
将B（3，4）代入y=x2-2x+1，左=右，
∴点B在抛物线y=x2-2x+1上．
将B（3，4）代入y=x2+2x+1，左≠右，
∴点B不在抛物线y=x2+2x+1上．（3分）

（2）∵A点坐标为（0，1），点B坐标为（3，4）．
∵直线y=kx+m，A、B两点，
∴．
∴．
∴y=x+1．（4分）
∵点B在抛物线y=x2-2x+1上．
设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE．
∴PE=h=yP-yE
=（x+1）-（x2-2x+1）
=-x2+3x．
即h=-x2+3x（0＜x＜3）．（6分）
∴当x=-=时，h有最大值，
最大值为y=-（）2+3×=．（7分）