Question

如图，在直角坐标系xoy中，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点（其中A在原点左侧，B在原点右侧），C为抛物线上一点，且直线AC的解析式为y=mx+2m（m≠0），∠CAB=45°，tan∠COB=2．
（1）求A、C的坐标；
（2）求直线AC和抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在点D，使得四边形ABCD为梯形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）已知了直线AC的解析式，可确定点A的坐标；过C作CM⊥x轴于M，在Rt△CAM中，AM=CM，而CM=2OB，由此可得AO=BO，根据A点坐标即可确定点C的坐标．
（2）将C点坐标代入直线AC的解析式中，可求得m的值，进而确定直线AC的解析式；同理，将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组求得抛物线的解析式．
（3）此题应分作两种情况考虑：
①AB∥CD，此时CD与x轴平行，D、C两点关于抛物线的对称轴对称，因此D点坐标不难求得；
②AD∥BC，首先根据抛物线的解析式求得点B坐标，进而可用待定系数法求得直线BC的解析式，由于直线AD与BC平行，因此它们的斜率相同，根据A点坐标即可确定直线AD的解析式，然后联立抛物线的解析式，即可求得交点D的坐标．
（由于此题已告知四边形ABCD字母的书写顺序，因此无需考虑BD∥AC等情况．）
【解析】
（1）直线AC：y=mx+2m（m≠0）中，
当y=0时，mx+2m=0，m（x+2）=0，
∵m≠0，
∴x=-2；
故A（-2，0）；
过C作CM⊥x轴于M；
Rt△CAM中，∠CAB=45°，则CM=AM；
Rt△COM中，tan∠COM=2，则CM=2OM，
故CM=2OM=2AM；
∵OA=2，则OM=2，CM=4，C（2，4），
∴A（-2，0），C（2，4）．

（2）将点C坐标代入直线AC的解析式中，有：
2m+2m=4，m=1，
∴直线AC：y=x+2；
将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，有：
，
解得；
∴抛物线：y=x2+x-2；
故直线AC和抛物线的解析式分别为：y=x+2，y=x2+x-2．

（3）存在满足条件的点D，其坐标为（-3，4）或（5，28）；
理由：假设存在符合条件的点D，则有：
①CD∥AB，由于AB≠CD，此时四边形ABCD是梯形；
易知抛物线的对称性为：x=-；
由于此时CD∥x轴，
故C、D关于直线x=-对称，
已知C（2，4），
故D（-3，4）；
②AD∥BC，显然BC≠AD，此时四边形ABCD是梯形；
易知B（1，0），用待定系数法可求得：
直线BC：y=4x-4；
由于AD∥BC，可设直线AD的解析式为y=4x+h，
则有：4×（-2）+h=0，
即h=8；
∴直线AD：y=4x+8；
联立抛物线的解析式可得：
，
解得（舍去），，
故D（5，28）；
综上所述，存在符合条件的D点，且坐标为：D（-3，4）或（5，28）．