Question

如图，△ABC中，内切圆I与AB，BC，CA分别切于F，D，E，连接BI，CI，再连接FD，ED，
（1）若∠A=40°，求∠BIC与∠FDE的度数．
（2）若∠BIC=α；∠FDE=β，试猜想α，β的关系，并证明你的论．

Answer

（1）根据圆I是△ABC的内切圆求出∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB），求出∠ABC+∠ACB的度数，求出∠IBC+∠ICB即可；连接IF、IE，求出∠FIE，即可求出∠FDE；
（2）由（1）得出∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB），∠FDE=180°-2∠A，根据三角形的内角和定理求出∠BIC=90°+∠A，代入即可求出答案．
【解析】
（1）∵圆I是△ABC的内切圆，
∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，
∴∠IBC+∠ICB=70°，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=110°，
连接IF、IE，

∵圆I是△ABC的内切圆，
∴∠IFA=∠IEA=90°，
∵∠A=40°，
∴∠FIE=360°-∠IFA-∠IEA-∠A=140°，
∴∠EDF=∠EIF=70°，
答：∠BIC=110°，∠FDE=70°．

（2）【解析】
α=180°-β．
理由如下：由圆周角定理得：∠FIE=2∠FDE，
由（1）知：2∠FDE=180°-∠A，
即∠A=180°-2∠FDE，
∴∠A=180°-∠EIF，
由（1）知：2∠FDE=180°-∠A，
∴∠A=180°-2∠FDE=180°-2β，
∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（∠ABC+∠ACB），
=180°-（180°-∠A）=90°+∠A，
∴∠BIC=α=90°+（180°-2β），
即α=180°-β．