Question

如图，已知二次函数图象的顶点为原点，直线y=x+4的图象与该二次函数的图象交于A点（8，8），直线与x轴的交点为C，与y轴的交点为B．
（1）求B点的坐标与这个二次函数的解析式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P点作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点，与x轴交于点E．设该线段PD的长为h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数解析式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、D、B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据二次函数的顶点为原点，得出二次函数的一般解析式y=ax2，将（8，8）代入即可；
（2）直接表示出PE与DE的长度从而得出PD的长，即可得出解析式；
（3）分别为当∠PDB=∠BOC=90°时与当∠PDB=∠BOC=90°时，利用相似三角形的判定与性质求出即可．
【解析】
（1）令x=0，代入，
∴y=4，
∴B（0，4）．
设y=ax2，把（8，8）代入得：82•a=8，
∴，
∴，

（2）∵点P的横坐标为t，
∴．
∴，
∴；

（3）存在，
①当∠PDB=∠BOC=90°时，
∴BD∥CE，
∴∠PBD=∠BCO．
∴△PDB∽△BOC，
∴．
令y=x=4=0，得x=-8，
∴C（-8，0），
∴CO=8．
∴．
化简得：t2=32．
解得：（不合题意，舍去）．
把代入，
得．
∴点P的坐标为．
②当∠PBD=∠BOC=90°时，
∵PD∥BO，∴∠DPB=∠CBO．
∴△PBD∽△BOC．
过点D作DF⊥OB，
∵∠DPB+∠PDB=90°，∠BDF+∠PDB=90°，
∴∠BDF=∠DPB=∠CBO．
∵∠BFD=∠COB，
△DFB∽△BOC，
∵，
∴，
∴．
化简得：t2+16t-32=0．
解得：（不合题意，舍去）
把代入，
得：，
∴P点的坐标为，
∴当P点的坐标为或时
以点P．D．B为顶点的三角形与△BOC相似．