Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，∠B=60°，BC=2AD，E、F分别为AB、BC的中点．
（1）求证：四边形AFCD是矩形；
（2）求证：DE⊥EF．

Answer

（1）由BC=2AD，F为BC的中点，即可得AD=CF，又由AD∥BC，即可证得四边形AFCD是平行四边形，又由BC⊥CD，即可证得四边形AFCD是矩形；
（2）由四边形AFCD是矩形，∠B=60°，即可求得∠BAF的度数，则可得∠BAD的度数，然后根据直角三角形斜边上的中线的性质，易证得△BEF是等边三角形，△AED是等腰三角形，则可求得∠DEF的度数，即可证得DE⊥EF．
证明：（1）∵F为BC的中点，
∴BF=CF=BC，
∵BC=2AD，
即AD=BC，
∴AD=CF，
∵AD∥BC，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∵BC⊥CD，
∴∠C=90°，
∴▱AFCD是矩形；

（2）∵四边形AFCD是矩形，
∴∠AFB=∠FAD=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BAF=30°，
∴∠EAD=∠EAF+∠FAD=120°，
∵E是AB的中点，
∴BE=AE=EF=AB，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠BEF=60°，BE=BF=AE，
∵AD=BF，
∴AE=AD，
∴∠AED=∠ADE==30°，
∴∠DEF=180°-∠AED-∠BEF=180°-30°-60°=90°．
∴DE⊥EF．