Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°不变．PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）中：①当y最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．②当动点P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数．

Answer

（1）需证△AMB≌△DMC，可得AB=DC，可得梯形ABCD是等腰梯形；
（2）可证△BPM∽△CQP，则PC：BM=CQ：BP，PC=x，MQ=y，BP=4-x，QC=4-y，即可得到BP与CQ的关系，从而转化成y与x的函数关系式；
（3）先利用二次函数求最值，求出y取最小值时x的值和y的最小值，从而确定P、Q的位置，判断出△PQC的形状．应考虑四边形ABPM和四边形MBPD均为平行四边形，四边形MPCD和四边形APCM均为平行四边形时的情况．
（1）证明：∵△MBC是等边三角形，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°，
∵M是AD中点，
∴AM=MD
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．
∴△AMB≌△DMC，（2分）
∴AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形．（3分）

（2）【解析】
在等边三角形MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°，
∴∠BMP=∠QPC，
∴△BMP∽△CPQ，
∴PC：BM=CQ：BP（5分）
∵PC=x，MQ=y，则BP=4-x，QC=4-y，
∴=，
∴y=x2-x+4=（x-2）2+3，
即MQ的最小值为3；（7分）

（3）【解析】
①△PQC为直角三角形，
由（2）知，当MQ取最小值时，x=PC=2．
∴P是BC的中点，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，
∴∠CPQ=30°，
∴∠PQC=90°，（9分）
②当BP=1时，有BP平行且等于AM，BP平行且等于MD，则四边形ABPM四边形MBPD均为平行四边形．
当BP=3时，
∵PC平行且等于AM，PC平行且等于MD，
∴四边形MPCD和四边形APCM均为平行四边形．
∴当BP=1或BP=3时，以点P、M和A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形，
此时平行四边形有2个．（11分）