Question

如图，抛物线y=x²+bx-2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．

Answer

（1）把A点的坐标代入抛物线解析式，求b的值，即可得出抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出顶点坐标；
（2）根据直角三角形的性质，推出AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，即AC2+BC2=25=AB2，即可确定△ABC是直角三角形；
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC'=2．连接C'D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．首先确定最小值，然后根据三角形相似的有关性质定理，求m的值
【解析】
（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2+bx-2上，
∴×（-1 ）2+b×（-1）-2=0，解得b=
∴抛物线的解析式为y=x2-x-2．
y=x2-x-2
=（ x2-3x-4 ）
=（x-）2-，
∴顶点D的坐标为 （，-）．

（2）当x=0时y=-2，∴C（0，-2），OC=2．
当y=0时，x2-x-2=0，∴x1=-1，x2=4，∴B （4，0）
∴OA=1，OB=4，AB=5．
∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，
∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形．

（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，
连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．
解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E．
∵ED∥y轴，∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM．
∴
∴，
∴m=．

解法二：设直线C′D的解析式为y=kx+n，
则，
解得：．
∴．
∴当y=0时，，．
∴．