Question

如图，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0）、（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发、以每秒1个单位的速度运动，点M沿OA向点A运动，点N沿BC向点C运动，已知动点运动了t秒．过点M作MP⊥x轴，交AC于P，连接NP．
①直接写出直线AC的解析式和点P的坐标（用含t的代数式表示）；
②当t为何值时，△CPN的面积取得最大值？并求出△CPN面积的最大值；
③当t为何值时，△CPN是一个等腰三角形？

Answer

（1）先求出点C的坐标，再根据待定系数法求解直线的解析式，根据PM∥OC，利用相似三角形对应边成比例求出PM的长度，即可得到P点的坐标；
（2）CN的长可根据CN=BC-BN来求得，然后利用点P的坐标求出点P到BC的距离，再根据三角形的面积计算公式即可得出S，x的函数关系式，然后再利用二次函数的最值问题求解；
（3）本题要分类讨论：
①当CP=CN时，可在Rt△CPQ中，用CQ的长即t和∠ACB的余弦值求出CP的表达式，然后联立CN的表达式即可求出t的值；
②当CP=PN时，那么CQ=QN，先在Rt△CPQ中求出CQ的长，然后根据QN=CN-CQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出t的值．
③当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在Rt△PNQ中，用勾股定理求出PN的长，联立CN的表达式即可求出t的值．
【解析】
（1）由题意可知，C（0，8），M（t，0），N（6-t，8），
设直线AC的解析式是：y=kx+b，
则，
解得，
∴直线AC的解析式是：y=-x+8，
∵MP⊥x轴，
∴PM∥OC，
∴△APM∽△ACO，
∴=，
即=，
解得PM=（6-t）=8-t，
∴P点坐标为（t，8-t）；

（2）设△NPC的面积为S，在△NPC中，NC=BC-BN=6-t，
NC边上的高为8-（8-t）=t，其中，0≤t≤6．
∴S=（6-t）×t=-（t2-6t）=-（t-3）2+6，
∴当t=3时，△CPN的面积取得最大值，△CPN面积的最大值为6；

（3）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．
①若NP=CP，
∵PQ⊥BC，
∴NQ=CQ=t．
∴6-t-t=t，
解得t=2；
②若CP=CN，则CN=6-t，PQ=t，CP=t，
∴6-t=t，
解得t=；
③若CN=NP，则CN=6-t．
∵PQ=t，NQ=6-t-t=6-2t，
∵在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2，
∴（6-t）2=（6-2t）2+（t）2，
解得t=．
综上所述，t=2或t=或t=．