Question

如图，AB是⊙O的直径，CB=CD，AC与BD相交于F，CF=2，FA=4．
（1）求证：△BCF∽△ACB．
（2）求BC的长．
（3）延长AB至E，使BE=BO，连接EC，试判断EC与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）由题意可知，∠D=∠CBD，∠A=∠D，通过等量代换推出∠A=∠CBD，即可推出结论，（2）由（1）所推出的结论，推出，结合已知条件，即可推出BC的长度，（3）连接OC，根据垂径定理，即可推出OC⊥BD，然后通过求证，推出BF∥EC，即得，OC⊥EC，即可推出结论．
（1）证明：∵CB=CD，
∴∠D=∠CBD，
∵∠A=∠D，
∴∠A=∠CBD，
又∵∠ACB=∠BCF，
∴△BCF∽△ACB．

（2）【解析】
∵△BCF∽△ACB，
∴，
又∵CF=2，FA=4，
∴，
∴BC1=2或BC2=（舍去），
∴BC=2，

（3）【解析】
EC与⊙O相切．
证明：连接OC，
∵CB=CD，
∴，
∴OC⊥BD，
又∵BE=BO，AB是⊙O的直径，
∴OB=OA=BE，
∴，
∵CF=2，FA=4，
∴，
∴，
∴BF∥EC，
∴OC⊥EC，
故EC与⊙O相切．