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在平面直角坐标系xOy中,把矩形AOCB绕点A逆时针旋转α角,得到矩形ADEF,...

在平面直角坐标系xOy中,把矩形AOCB绕点A逆时针旋转α角,得到矩形ADEF,设AD与BC相交于点G,且A(-9,0),C(0,6),如图甲.
(1)当α=60°时,请猜测△ABF的形状,并对你的猜测加以证明.
(2)当GA=GC时,求直线AD的解析式.
(3)当α=90°时,如图乙.请探究:经过点F,且以点B为顶点的抛物线,是否经过矩形ADEF的对称中心H,并说明理由.
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(1)根据旋转的知识可得AB=AF,根据∠BAF=60°可得∴△ABF为等边三角形; (2)利用△AGB为直角三角形,根据勾股定理可得CG的长,也求得了G的坐标,利用点A、G的坐标可得所求的直线解析式; (3)易得F坐标,利用顶点式可得经过点F,且以点B为顶点的抛物线,易得H的坐标,把横坐标代入所得函数解析式,看是否等于纵坐标即可. 【解析】 (1)矩形ADEF是矩形AOCB绕点A逆时针旋转α=60°角而得, ∴AF=AB. 又∵∠FAB+∠BAG=∠α+∠BAG=90°, 即∠FAB=∠α=60°. ∴△ABF为等边三角形. (2)设CG=x,则BG=9-x,而AB=OC=6,GA=GC. ∴在Rt△AGB中,(9-x)2+62=x2. 解之得. ∴点G坐标为(-,6). 设直线AD的解析式为y=kx+b, ∵AD经过A(-9,0),G(-,6), ∴, 解之得. ∴所求直线AD的解析式为:. (3)据题意,∵抛物线顶点B(-9,6),又过点F(-15,0), ∴设抛物线解析式为y=a(x+9)2+6. ∴a(-15+9)2+6=0,即. ∴抛物线的解析式为. 又∵点H是矩形ADEF的对称中心, ∴H(-12,). 将x=-12代入,得. ∴抛物线要经过矩形ADEF的对称中心H.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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