Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=4，AD=2．点M是边BC的中点，以M为顶点作
∠EMF=∠B，射线ME交边AB于点E，射线MF交边CD于点F，连接EF．
（1）指出图中所有与△BME相似的三角形，并加以证明；
（2）如果△BME是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长．

Answer

（1）由已知∠EMF=∠B，利用外角的性质证明∠CMF=∠BEM，由等腰三角形的性质，得∠B=∠C，证明△BME∽△CFM；再利用相似比及∠EMF=∠B，证明△BME∽△MEF；
（2）当△BME是以BM为腰的等腰三角形时，①若BE=BM=2，同理CM=CF=2，可知E、F分别是AB、DC的中点，由梯形中位线定理求解，②若BM=ME=2，过M作MH⊥BE于H，过A作AG⊥BC于G，利用相似比求解．
【解析】
（1）△BME∽△CFM，△BME∽△MEF，（1分）
证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C，（2分）
∵∠CME=∠B+∠BEM，即∠CMF+∠FME=∠B+∠BEM
又∠FME=∠B，∴∠CMF=∠BEM，∴△BME∽△CFM，（4分）
∴∵MB=MC，∴（6分）
∵∠EMF=∠B，∴△BME∽△MFE，（6分）

（2）∵BC=4，M是BC的中点，∴BM=CM=2，
若BM=BE=2，由（1）知，△BME∽△CFM，∴CF=CM=2，（8分）
∴E、F分别是AB、DC的中点，∴EF==3，（9分）
若BM=ME=2，过M作MH⊥BE于H，过A作AG⊥BC于G，
则△BMH∽△BAG，∴，
∴BH=，∴BE=1（10分）
由（1）知，△BME∽△MFE，∴=，∴EF=4（12分）