Question

有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=5．把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N．
（1）若BE=，试画出折痕MN的位置，并求这时AM的长；
（2）点E在BC上运动时，设BE=x，AN=y，试求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）连接DE，是否存在这样的点E，使得△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据折叠的性质，折叠前后线段相等，即AM=ME，再由勾股定理求得AM=．
（2）仿（1）可求AM=．又根据折叠的性质，可证△AMN∽△BEA，得=，推出，定义域为：．
（3）可用分析法：若△AME与△DNE相似，可推出DN=NE=NA=，进而取得BE=1．
【解析】
（1）画出正确的图形．（折痕MN必须与AB、AD相交）
设AM=t，则ME=t，MB=2-t，由BM2+BE2=ME2，得t=，即AM=．

（2）如上图（a），仿（1）得，AM=．
由△AMN∽△BEA，得=，推出，
∵0＜x≤2，0＜y≤5，
x的取值范围为：．

（3）如上图（b），若△AME与△DNE相似，不难得∠DNE=∠AME．
又因为AM=ME，所以DN=NE=NA=，所以，
解得：x=1或x=4．
又∵，故x=1．
或者由∠DEN=∠AEM，得∠AED=90°，
推出△ABE∽△ECD，
从而得BE=1．