Question

如图（1），由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形得到…①
即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦值之积的一半
如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD=α，∠DCB=β
∵S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD，由公式①得到
即AC•BC•sin（α+β）=AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ…②
你能利用直角三角形关系及等式基本性质，消去②中的AC、BC、CD吗？若不能，说明理由；若能，写出解决过程．并利用结论求出sin75°的值．

Answer

将等式的两边同时除以AC和BC，然后将cosβ=、cosα=代入，整理即可消去②中的AC、BC、CD，分别令α=30°，β=45°代入消去后的式子可得出sin75°的值．
【解析】
①能消去②中的AC、BC、CD．
将AC•BC•sin（α+β）=AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ，两边同除以AC•BC得：
sin（α+β）=•sinα+•sinβ③，
又∵cosβ=、cosα=，
代入③可得：sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ．
②由sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ得：sin75°=sin（30°+45°）=sin30°•cos45°+cos30°•sin45°
=×+×
=．