Question

如图，已知在△ABC中，若AC和BC边的长是关于x的方程x²-（AB+4）x+4AB+8=0的两个根，且25BC•sinA=9AB．求△ABC三边的长？

Answer

首先由根与系数的关系可以得到AC+BC=AB+4（1），AC•BC=4AB+8（2），然后由（1）2-2（2）得AC2+BC2=AB2，
然后利用勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形，且∠C=90°，接着利用三角函数可以得到 =sinA，
由25BC•sinA=9AB可以得到sinA•=，然后就可以求出sinA=，也就求出=，设BC=3k，AB=5k，由勾股定理得AC=4k，这样利用（1）即可解决问题．
【解析】
依题意得：AC+BC=AB+4（1）
AC•BC=4AB+8（2），
由（1）2-2（2）得：AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，
在Rt△ABC中，=sinA，
由题意得：sinA•=，
∵∠A是Rt△ABC的锐角，
∴sinA＞0，
∴sinA=，
∴=，
设BC=3k，AB=5k，由勾股定理得AC=4k，
结合（1）式得4k+3k=5k+4，解之得：k=2．
∴BC=6，AB=10，AC=8．