Question

已知抛物线y=ax²-2ax+c-1的顶点在直线y=-上，与x轴相交于B（α，0）、C（β，0）两点，其中α＜β，且α²+β²=10．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设这个抛物线与y轴的交点为P，H是线段BC上的一个动点，过H作HK∥PB，交PC于K，连接PH，记线段BH的长为t，△PHK的面积为S，试将S表示成t的函数；
（3）求S的最大值，以及S取最大值时过H、K两点的直线的解析式．

Answer

（1）把顶点A的坐标代入直线的解析式得出c=a+，根据根与系数的关系求出c=1-3a，得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）求出P、B、C的坐标，BC=4，根据sin∠BCP==，和HK∥BP，得出=，求出PK=t，过H作HG⊥PC于G，根据三角形的面积公式即可求出答案；
（3）根据S=-（t-2）2+2求出S取最大值，作KK′⊥HC于K′，求出KK′和OK′，得到点K的坐标，设所求直线的解析式为y=kx+b，代入得到方程组求出即可．
【解析】
（1）由y=ax2-2ax+c-1=a（x-1）2+c-1-a得抛物线的顶点为
A（1，c-1-a）．
∵点A在直线y=-x+8上，
∴c-1-a=-×1+8，
即c=a+，①
又抛物线与x轴相交于B（α，0）、C（β，0）两点，
∴α、β是方程ax2-2ax+c-1=0的两个根．
∴α+β=2，αβ=，
又α2+β2=10，即（α+β）2-2αβ=10，
∴4-2×=10，
即c=1-3a②，
由①②解得：a=-，c=5，
∴y=-x2+x+4，
此时，抛物线与x轴确有两个交点，
答：这个抛物线解析式为：y=-x2+x+4．

（2）由抛物线y=-x2+x+4，
令x=0，得y=4，故P点坐标为（0，4），
令y=0，解得x1=-1，x2=3，
∵α＜β，∴B（-1，0），C（3，0），
∴BC=4，又由OC=3，OP=4，得PC=5，sin∠BCP==，
∵BH=t，∴HC=4-t．
∵HK∥BP，=，=，
∴PK=t
如图，过H作HG⊥PC于G，则HG=HC，
sin∠BCP=（4-t）•=（4-t），
∴S=×t×（4-t）=t2+2t，
∵点H在线段BC上且HK∥BP，∴0＜t＜4．
∴所求的函数式为：S=-t2+2t（0＜t＜4），
答：将S表示成t的函数为S=-t2+2t（0＜t＜4）．

（3）由S=-t2+2t=-（t-2）2+2（0＜t＜4），知：
当t=2（满足0＜t＜4）时，S取最大值，其值为2，
此时，点H的坐标为（1，0），
∵HK∥PB，且H为BC的中点，
∴K为PC的中点，
作KK′⊥HC于K′，
则KK′=PO=2，OK′=CO=，
∴点K的坐标为（，2），
设所求直线的解析式为y=kx+b，则
，
∴
故所求的解析式为y=4x-4，
答S的最大值是2，S取最大值时过H、K两点的直线的解析式是y=4x-4．