Question

已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N．
（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN=MN；
（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2，图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；
（3）在图3中，作直线BD交直线AM、AN于P、Q两点，若MN=10，CM=8，求AP的长．

Answer

（1）作AE垂直于AN，交CB的延长线于点E，由同角的余角相等得到一对锐角相等，再由一对直角相等，又正方形的边长相等，利用ASA即可得到三角形ABE与三角形AND全等，从而得到对应边AE与AN，BE与DN相等，又∠EAM=∠NAM=45°，AM为公共边，利用SAS即可得到三角形AEM与三角形ANM全等，从而得到MN=ME，等量代换即可得证；
（2）图2的结论：MN+DN=BM，理由为：在BC上截取BG=DN，连接AG，然后也可以证明△AMN≌△AMG，也根据全等三角形的性质就可以得到结论；图3的结论：MN+BM=DN，理由为：在ND上截取DG=BM，连接AG，首先证明△AMB≌△AGD，再证△AMG为等腰直角三角形，即可得到结论；
（3）连接AC，在直角三角形MNC中，由MN和CM的长，利用勾股定理求出CN的长，根据图3的结论等量代换即可求出BC的长，从而利用勾股定理求出AC的长，根据同角的余角相等得到一对锐角相等，再根据45度的邻补角相等得到一对钝角相等，利用两对角相等的两三角形相似，可得三角形ABP与三角形ACN相似，且相似比为1：，在直角三角形AND中，利用勾股定理求出AN的长，代入比例式即可求出AP的长．
【解析】
（1）证明：作AE⊥AN交CB的延长线于E，
∵∠EAB+∠BAN=90°，∠NAD+∠BAN=90°，∴∠EAB=∠NAD．    
又∵∠ABE=∠D=90°，AB=AD，
∴△ABE≌△AND（ASA），（2分）
∴AE=AN，BE=DN．
∵∠EAM=∠NAM=45°，AM=AM，
∴△AME≌△AMN．     …（3分）
∴MN=ME=MB+BE=MB+DN．…（4分）

（2）图2的结论：MN+DN=BM；   …（6分）
图3的结论：MN+BM=DN．   …（8分）

（3）连接AC．
∵MN=10，CM=8，
在Rt△MNC中，根勾股定理得：MN2=CM2+CN2，即102=82+CN2，
∴CN=6，
如图3在ND上截取DG=BM，

∵AD=AB，∠ABM=∠ADN=90°，
∴△ADG≌△ABM，
∴AG=AM，∠MAB=∠DAG，
∵∠MAN=45°，∠BAD=90°，
∴∠MAG=90°，△AMG为等腰直角三角形，
∴AN垂直MG，
∴AN为MG垂直平分线，
所以NM=NG．
∴DN-BM=MN，即MN+BM=DN，
∴MN+CM-BC=DC+CN，
∴CM-CN+MN=2BC，
∴8-6+10=2BC，
∴BC=6．
∴AC=6．     …（10分）
∵∠BAP+∠BAQ=45°，∠NAC+∠BAQ=45°，
∴∠BAP=∠NAC．
又∠ABP=∠ACN=135°，
∴△ABP∽△CAN，
∴==．      …（12分）
∵在Rt△AND中，根据勾股定理得：AN2=AD2+DN2=36+144，
解得AN=6．
∴=，
∴AP=3．     …（14分）