Question

已知：一元二次方程x²+px+q+1=0的一根为2．
（1）求q关于p的关系式；
（2）求证：抛物线y=x²+px+q+1与x轴总有交点；
（3）当p=-1时，（2）中的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A在B的左侧，若P点在抛物线上，当S_△BPC=4时，求P点的坐标．

Answer

（1）将2代替一元二次方程x2+px+q+1=0中的x即可得到pq之间的关系式；
（2）证明抛物线与x轴总有交点即可证明其根的判别式中大于零即可；
（3）利用p=-1求得抛物线的解析式，利用围成的三角形的面积求得P点的坐标即可．
（1）【解析】
∵方程的根为2，
∴4+2p+q+1=0，
∴q=-2p-5；

（2）证明：△=p2-4（q+1），
=p2-4（-2p-5+1），
=p2+8p+16，
=（p+4）2，
∵（p+4）2≥0，
∴△≥0，
∴抛物线y=x2+px+q+1与x轴总有交点；

（3）【解析】
当p=-1时，q=-2×（-1）-5=-3，
∴抛物线的解析式为：y=x2-x-2．
∵B（2，0）C（0，-2），
∴BC=，∠OBC=45°．
∵S△PBC=4．
∴．
∴．
过B点作BD⊥BC交y轴于点D，
∴DO=BO=CO，
∴D点的坐标为：（0，2），
∴BD=，
过D点作DE∥BC交x轴于点E，
∵∠ODB=∠OBD=45°∠EDB=90°，
∴∠EDO=45°，
∴E（-2，0），
设直线DE的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴，
∴解得，
∴直线DE的解析式为y=x+2．
设直线DE与抛物线的交点P（x，y），
∴，
∴，
∴，．