Question

如图所示，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于E，交AB的延长线于点F，BF=4．
（1）求证：△EFO∽△AFD，并求的值；
（2）求cos∠F的值；
（3）求线段BE的长．

Answer

（1）先证明△EFO∽△AFD，然后根据相似三角形的对应边成比例得到；
（2）解答此题的关键是由△OEF∽△DAF得出AF=2EF，再根据此数值求出EF和FO，然后即可求出cos∠F；
（3）由△BEF∽△EAF，设BE=k，则AE=2k，即可求得BE．
【解析】
（1）易知∠OEF=∠FAD=90°，而∠F=∠F，
故△EFO∽△AFD，
所以，
而EO=AO=AB=AD，即=；

（2）由△OEF∽△DAF，得===，
即AF=2EF，又EF2=FB•FA=BF•2EF，
∴EF=2BF=8，AF=2EF=16，
∴AB=AF-BF=12，
FO=AB+BF=10．
cos∠F==；

（3）由△BEF∽△EAF，得 ===，
设BE=k，则AE=2k，
由AE2+BE2=AB2，得
（2k）2+k2=122，
解得k=，
故BE=．